Définition
Définition de la différentielle seconde :
- soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés
- soit \(U\) un ouvert de \(E\)
- soit \(f:U\to F\)
- \(f\) est différentiable sur un voisinage de \(a\)
- \(df\) est différentiable en \(a\)
$$\Huge\iff$$
- on dit que \(f\) est deux fois différentiable en \(a\)
- on note \(d^2f(a)\) cette différentielle seconde
Propriétés
Espace d'arrivée
Remarque :
\(df\) est à valeurs dans \(\mathcal L_C(E,F)\)
Donc \(d^2f\) est à valeurs dans \(\mathcal L_C(E,\mathcal L_C(E,F))\)
Etc
Remarque :
On peut identifier \(\mathcal L_C(E,\mathcal L_C(E,F))\) à l'espace des applications bilinéaires continues
Proposition :
Si \(E,F,G\) sont des espaces vectoriels normés, alors les espaces $${{\mathcal L_C(E,\mathcal L_C(F,G))}}\quad\text{ et }\quad {{\mathcal L_{2,C}(E\times F,G)}}$$ sont isométriquement isomorphes avec \(\mathcal L_{2,C}(E\times F,G)\) l'ensemble des applications bilinéaires continues
(
Isomorphisme isométrique)
Cas bilinéaire continu
Remarque :
Dans toute la suite, on désignera par \(d^2f(a)\) l'application bilinéaire associée
On a : $${{d^2f(a)(h)(k)}}={{d^2f(a)(h,k)}}d^2f}}$$
Proposition : $${{f\text{ est linéaire continue} }}\implies{{ d^2f=0}}d^2f}}$$
Proposition :
Si \(f\) est bilinéaire continue, alors $${{df(a,b)(h_1,h_2)}}={{f(a,h_2)+f(h_1,b)}}$$
Proposition :
Si \(f\) est bilinéaire continue, alors $${{d^2f(a,b)((h_1,h_2)(k_1,k_2))}}={{f(h_1,k_1)+f(h_2,k_2)}}$$
Théorème de Schwarz
Théorème de Schwarz
Développement limité
Développement limité sur un espace vectoriel normé :
- soient \(E,F\) un espace vectoriel normé
- soit \(U\) un ouvert de \(E\)
- soit \(f:U\to F\) deux fois différentiable en \(a\in E\)
$$\Huge\iff$$
- \(f\) admet un développement limité à l'ordre \(2\) : $$f(a+h)-f(a)-d f(a)(h)-\frac12 d^2f(a)(h,h)=o(\lVert h\rVert^2)$$
(
Développement limité)
[!Warning]+ Contre-exemple : fonction qui admet un développement limité à l'ordre \(2\) mais qui n'est pas deux fois différentiable
$$f(x)={{x^3\sin\left(\frac1x\right)}}$$
\(f^\prime(x)=3x^2\sin(\frac1x)-x\cos(\frac1x)\)
Mais \(\frac{f^\prime(x)-f^\prime(0)}{x}\) n'admet pas de limite
Or \(f(x)=o(x^2)\)
Proposition :
Soient \(E,F\) deux espaces vectoriels normés, \(U\) un ouvert de \(E\) et \(f:U\to F\)
Si \(f\) est deux fois différentiable en \(a\), alors $$d^2f(a)(h,k)=\lim_{s\to0}\displaystyle\lim_{t\to0}{{\frac{f(a+th+sk)-f(a+th)-f(a+sk)+f(a)}{st} }}$$
(dans cette égalité, on peut intervertir les limites)
Par développement limité, $${{df(x+h)}}={{df(x)+d^2f(x)(x,h)}}$$
Différentielle seconde d'une composée - Règle de la chaîne
Proposition :
Si \(f\) est deux fois différentiable en \(a\) et \(g\) est deux fois différentiable en \(f(a)\), alors \(g\circ f\) est deux fois différentiable en \(a\) et : $$\begin{align} d^2(g\circ f)(a)(h,k)={{d^2g(f(a))(df(a)(h),df(a)(k))}}+{{dg(f(a))(d^2f(a)(h,k))}}\end{align}$$
[!Note] Démonstration en exercice
Calculer la différentielle de \(\psi(x,y)=dg(f(x))\circ df(y)\).
Ecriture comme une limite
Proposition :
On a : $${{d^2f(x)(h,k)}}={{\displaystyle\lim_{t\to0}\frac{f(x+th)+f(x-tk)-2f(x)}{t^2}}} }}$$
Liens avec la hessienne
Proposition :
$${{d^2f(x)(h,k)}}={{h^\perp\operatorname{Hess}f(x)k}}$$ (car \(d^2\) est une forme bilinéaire)
(
Hessienne,
Forme bilinéaire)
